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Wahrscheinlichkeit Verteilungsfunktion Beispiel Essay

Verteilungsfunktion

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was die Verteilungsfunktion ist.
[Alternative Bezeichnung: Kumulative Verteilungsfunktion]

Die Verteilungsfunktion ist ein Hilfsmittel zur
Beschreibung einer diskreten oder stetigen Wahrscheinlichkeitsverteilung.

Die Verteilungsfunktion ist eine Funktion, also eine Beziehung zwischen zwei Mengen,
die jedem Element der einen Menge genau ein Element der anderen Menge zuordnet.

1. Diskrete Verteilungsfunktion




Eine Zufallsvariable ordnet
jedem \(\omega_i\) aus \(\Omega\)
genau ein \(x_i\) aus \(\mathbb{R}\)
zu.




Eine Wahrscheinlichkeitsfunktion ordnet
jedem \(x_i\) aus \(\mathbb{R}\)
genau ein \(P(X = x_i)\) aus \([0;1]\)
zu.




Eine Verteilungsfunktion ordnet
jedem \(x_i\) aus \(\mathbb{R}\)
genau ein \(P(X \le x_i)\) aus \([0;1]\)
zu.

Der Vollständigkeit halber schauen wir uns die wichtigsten Zusammenhänge im Vergleich an:

Zufallsvariable \(X\)
Wahrscheinlichkeitsfunktion \(f\)Verteilungsfunktion \(F\)
\(X: \Omega \rightarrow \mathbb{R}\)\(f: \mathbb{R} \rightarrow [0;1]\)\(F: \mathbb{R} \rightarrow [0;1]\)
\(X: \omega \rightarrow X(\omega)\)\(f: x \rightarrow f(x)\)\(F: x \rightarrow F(x)\)
\(X(\omega) = x\)\(f(x) = P(X = x)\)\(F(x) = P(X \le x)\)

Die Verteilungsfunktion ordnet jedem \(x\) eine Wahrscheinlichkeit \(P(X \le x)\) zu.

\(P(X \le x)\) gibt die Wahrscheinlichkeit dafür an,
dass die Zufallsvariable \(X\) höchstens den Wert \(x\) annimmt.

Die bisherigen Ausführungen waren ziemlich theoretisch. Es wird Zeit für ein Beispiel...

1.1 Diskrete Verteilungsfunktion - Beispiel

Wir werfen eine Münze zweimal hintereinander.
Wenn 2x \(\text{ZAHL}\) fällt, verlieren wir 2 Euro.
Wenn 1x \(\text{KOPF}\) fällt, gewinnen wir 1 Euro.
Wenn 2x \(\text{KOPF}\) fällt, gewinnen wir 2 Euro.

Zufallsvariable: \(\omega \rightarrow x\)

Die Zufallsvariable ordnet jedem Ergebnis \(\omega\) seinen Gewinn \(x\) zu.

a) Darstellung als Wertetabelle

\(\begin{array}{r|r|r|r|r}
\text{Ergebnis } \omega_i & ZZ & ZK & KZ & KK \\
\hline
\text{Gewinn } x_i & -2 & 1 & 1 & 2
\end{array}\)

b) Darstellung als abschnittweise definierte Funktion

\(\begin{equation*}
X(\omega) =
\begin{cases}
-2 & \text{für } \omega = ZZ \\
1 & \text{für } \omega = ZK \\
1 & \text{für } \omega = KZ \\
2 & \text{für } \omega = KK
\end{cases}
\end{equation*}\)

c) Darstellung als Mengendiagramm

Wahrscheinlichkeitsfunktion: \(x \rightarrow P(X = x)\)

Die Wahrscheinlichkeitsfunktion ordnet jedem Gewinn \(x\) seine Wahrscheinlichkeit zu.

Nebenrechnung

\(\Omega = \{ZZ,ZK,KZ,KK\}\)

\(|\Omega| = 4\)

Wahrscheinlichkeit für \(X = -2\)

\(E_1(X = -2) = \{ZZ\} \quad \Rightarrow |E_1| = 1\)
\[P(X = -2) = \frac{|E_1|}{|\Omega|} = \frac{1}{4} = 0,25\]

Wahrscheinlichkeit für \(X = 1\)

\(E_2(X = 1) = \{ZK,KZ\} \quad \Rightarrow |E_2| = 2\)
\[P(X = 1) = \frac{|E_2|}{|\Omega|} = \frac{2}{4} = 0,5\]

Wahrscheinlichkeit für \(X = 2\)

\(E_3(X = 2) = \{KK\} \quad \Rightarrow |E_3| = 1\)
\[P(X = 2) = \frac{|E_3|}{|\Omega|} = \frac{1}{4} = 0,25\]

a) Darstellung als Wertetabelle

\(\begin{array}{r|r|r|r}
\text{Gewinn } x_i & -2 & 1 & 2\\
\hline
f(x_i) = P(X = x_i) & 0,25 & 0,5 & 0,25
\end{array}\)

b) Darstellung als abschnittweise definierte Funktion

\(\begin{equation*}
f(x_i) = P(X = x_i) =
\begin{cases}
0,25 & \text{für } x = -2 \\
0,5 & \text{für } x = 1 \\
0,25 & \text{für } x = 2 \\
0 & \text{sonst}
\end{cases}
\end{equation*}\)

c) Darstellung als Mengendiagramm

Verteilungsfunktion: \(x \rightarrow P(X \le x)\)

Die Verteilungsfunktion ordnet jedem Gewinn \(x\) seine kumulierte Wahrscheinlichkeit zu.

\[F(x) = P(X \le x) = \sum_{x_i \le x} P(X = x_i)\]

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Zufallsgröße \(X\) kleiner gleich \(x\) ist, entspricht der Summe aller Einzelwahrscheinlichkeiten \(x_i\),
solange \(x_i\) kleiner gleich \(x\) ist.

Nebenrechnung

Wahrscheinlichkeit für \(X \le -2\)

\(P(X \le -2) = P(X = -2) = 0,25\)

Wahrscheinlichkeit für \(X \le 1\)

\(P(X \le 1) = P(X = -2) + P(X = 1) = 0,25 + 0,5 = 0,75\)

Wahrscheinlichkeit für \(X \le 2\)

\(P(X \le 2) = P(X = -2) + P(X = 1) + P(X = 2) = 0,25 + 0,5 + 0,25 = 1\)

a) Darstellung als Wertetabelle

\(\begin{array}{r|c|c|c|c}
\text{Gewinn } x_i \in & ]-\infty;-2[ & [-2;1[ & [1;2[ & [2;\infty[\\
\hline
F(x_i) = P(X \le x_i) & 0 & 0,25 & 0,75 & 1
\end{array}\)

b) Darstellung als abschnittweise definierte Funktion

\(\begin{equation*}
F(x_i) = P(X \le x_i) =
\begin{cases}
0 & \text{für } x < -2 \\
0,25 & \text{für } -2 \le x < 1 \\
0,75 & \text{für } 1 \le x < 2 \\
1 & \text{für } x \ge 2
\end{cases}
\end{equation*}\)

c) Darstellung als Mengendiagramm

1.2 Rechnen mit einer diskreten Verteilungsfunktion

  1. \(P(X \le a) = F(a)\)
  2. \(P(X < a) = F(a) - P(X = a)\)
  3. \(P(X > a) = 1 - F(a)\)
  4. \(P(X \geq a) = 1 - F(a) + P(X = a)\)
  5. \(P(a < X \le b) = F(b) - F(a)\)
  6. \(P(a \le X \le b) = F(b) - F(a) + P(X = a)\)
  7. \(P(a < X < b) = F(b) - F(a) - P(X = b)\)
  8. \(P(a \le X < b) = F(b) - F(a) + P(X = a) - P(X = b)\)

Beispiel (Fortsetzung 1)

\(\begin{equation*}
F(x_i) = P(X \le x_i) =
\begin{cases}
0 & \text{für } x < -2 \\
0,25 & \text{für } -2 \le x < 1 \\
0,75 & \text{für } 1 \le x < 2 \\
1 & \text{für } x \ge 2
\end{cases}
\end{equation*}\)

a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit macht man höchstens 1 Euro Gewinn?

\(\begin{align*}
P(X \le 1) &= F(1)\\
&= 0,75\\
&= 75\%
\end{align*}\)

b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit macht man mehr als 1 Euro und höchstens 2 Euro Gewinn?

\(\begin{align*}
P(1 < X \le 2) &= P(X \le 2) - P(X \le 1)\\
&= F(2) - F(1)\\
&= 1 - 0,75\\
&= 0,25 = 25\%
\end{align*}\)

c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit man mehr als -2 Euro Gewinn?

\(\begin{align*}
P(X > - 2) &= 1 - P(X \le -2)\\
&= 1 - F(-2)\\
&= 1 - 0,25\\
&= 0,75 = 75\%
\end{align*}\)

  • \(P(X = x_i) = F(x_i) - F(x_{i-1})\)

d) Mit welcher Wahrscheinlichkeit gewinnt man genau 1 Euro?

\(\begin{align*}
P(X = 1) &= P(X \le 1) - P(X \le -2)\\
&= F(1) - F(-2)\\
&= 0,75 - 0,25\\
&= 0,5 = 50\%
\end{align*}\)

1.3 Graph einer diskreten Verteilungsfunktion

Die Verteilungsfunktion \(F\) einer diskreten Zufallsgröße \(X\)
ist eine Treppenfunktion.

Beispiel (Fortsetzung 2)

\(\begin{equation*}
F(x_i) = P(X \le x_i) =
\begin{cases}
0 & \text{für } x < -2 \\
0,25 & \text{für } -2 \le x < 1 \\
0,75 & \text{für } 1 \le x < 2 \\
1 & \text{für } x \ge 2
\end{cases}
\end{equation*}\)




Die Verteilungsfunktion \(F\)
hat an den Stellen \(x = x_i\) eine Sprungstelle:
Rote Punkte gehören zum Graphen der Funktion, weiße Punkte dagegen nicht.
Die roten Punkte werden oft weggelassen.

Merke: Die Höhe des Sprungs von \(F(x)\) im Punkt \(x_i\) entspricht \(P(X = x_i)\).

Eigenschaften einer Verteilungsfunktion

  • \(F(x)\) ist monoton steigend.
  • \(F(x)\) ist rechtsseitig stetig.
  • \(\lim_{x\to -\infty} F(x) = 0\) und \(\lim_{x\to +\infty} F(x) = 1\)

Jede Verteilungsfunktion besitzt höchstens abzählbar viele Sprungstellen.

2. Stetige Verteilungsfunktion

Bei diskreten Zufallsvariablen können wir zwischen der Wahrscheinlichkeitsfunktion und der Verteilungsfunktion wählen, wenn man Wahrscheinlichkeiten berechnen will.

Bei stetigen Zufallsvariablen verwendet man zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten immer die entsprechende Verteilungsfunktion. Sie ergibt sich durch Integration der Dichtefunktion:

\[F(x) = P(X \le x) = \int_{-\infty}^{x} \! f(u) \, \mathrm{d}u\]

Daraus lässt sich eine wichtige Eigenschaft ableiten:

Die Wahrscheinlichkeit, dass eine stetige Zufallsvariable \(X\)
einen bestimmten Wert \(x\) annimmt, ist stets Null.

\(P(X = x) = 0\)

Grund dafür ist, dass die Fläche über einem Punkt \(x\) gleich Null ist:

\[P(X = x) = \int_{x}^{x} \! f(u) \, \mathrm{d}u = F(x) - F(x) = 0\]

Aus dieser Eigenschaft folgt

\(\Rightarrow \quad P(X \le a) = P(X < a) = F(a)\)

\(\Rightarrow \quad P(a \le X \le b) = P(a < X < b) = P(a \le X < b) = P(a < X \le b) = F(b) - F(a)\)

\(\Rightarrow \quad P(X > a) = P(X \geq a) = 1 - P(X < a) = 1 - P(X \le a) = 1 - F(a)\)

Zusammenhang zwischen Dichtefunktion und Verteilungsfunktion

Beispiel 1

\[P(X \le 3) = \int_{-\infty}^{3} \! f(u) \, \mathrm{d}u\] Die Wahrscheinlichkeit \(P(X \le 3)\)
ist gleich der Fläche zwischen
der Dichtefunktion \(f\), der x-Achse und
der senkrechten Geraden \(x = 3\).



\(P(X \le 3) = F(3)\)

Die Wahrscheinlichkeit \(P(X \le 3)\)
entspricht dem Funktionswert der Verteilungsfunktion an der Stelle \(x = 3\).

Beispiel 2

\[P(2 < X \le 3) = \int_{2}^{3} \! f(u) \, \mathrm{d}u\] Die Wahrscheinlichkeit \(P(2 < X \le 3)\)
ist gleich der Fläche zwischen
der Dichtefunktion \(f\), der x-Achse und
den beiden senkrechten Geraden
bei \(x = 2\) und \(x = 3\).



\(P(2 < X \le 3) = F(3) - F(2)\)

Die Wahrscheinlichkeit \(P(2 < X \le 3)\)
entspricht dem Funktionswert der Verteilungsfunktion an der Stelle \(x = 3\)
abzüglich des Funktionswerts der Verteilungsfunktion an der Stelle \(x = 2\).

Beispiel 3

\[P(X > 4) = \int_{4}^{\infty} \! f(u) \, \mathrm{d}u\] Die Wahrscheinlichkeit \(P(X \le 3)\)
ist gleich der Fläche zwischen
der senkrechten Geraden \(x = 4\)
der Dichtefunktion \(f\) und der x-Achse.



\(P(X > 4) = 1 - F(4)\)

Die Wahrscheinlichkeit \(P(X > 4)\)
entspricht 1 abzüglich des Funktionswerts der Verteilungsfunktion an der Stelle \(x = 4\).

Falls du die Gleichung \(P(X > 4) = 1 - F(4)\) nicht verstehst, mach dir Folgendes klar:

  1. \(P(X > 4)\) ist dasselbe wie \(P(4 < X < \infty)\)
  2. \(P(4 < X < \infty) = F(\infty) - F(4)\)
  3. \(F(\infty) = \int_{-\infty}^{\infty} \! f(x) \, \mathrm{d}x = 1\)
    In Worten: Die Fläche unter der Dichtefunktion hat den Inhalt 1.

2.1 Stetige Verteilungsfunktion - Beispiel

Ein Zufallsgenerator erzeugt zufällig eine Zahl zwischen 2 und 4.

Gegeben ist die Dichtefunktion

\begin{equation*}
f(x) =
\begin{cases}
0 & \text{für } x < 2\\
\frac{1}{2} & \text{für } 2 \le x \le 4 \\
0 & \text{für } x > 4 \end{cases}
\end{equation*}

Berechne die Verteilungsfunktion.

1. Abschnitt: \(x < 2\)

\[\begin{align*}
F(x) &= \int_{-\infty}^{x} \! f(u) \, \mathrm{d}u\\
&= \int_{-\infty}^{x} \! 0 \, \mathrm{d}u\\
&= 0
\end{align*}\]

2. Abschnitt: \(2 \le x \le 4\)

\[\begin{align*}
F(x) &= \int_{-\infty}^{x} \! f(u) \, \mathrm{d}u\\
&= \int_{-\infty}^{2} \! 0 \, \mathrm{d}u + \int_{2}^{x} \! \frac{1}{2} \, \mathrm{d}u\\
&= 0 + \left[\frac{1}{2}u\right]_{2}^{x}\\
&= \frac{1}{2} \cdot x - \frac{1}{2} \cdot 2\\
&= \frac{1}{2}x - 1
\end{align*}\]

3. Abschnitt: \(x > 4\)

\(F(x) = 1\)

Daraus folgt

\begin{equation*}
F(x) =
\begin{cases}
0 & \text{für } x < 2\\
\frac{1}{2}x - 1 & \text{für } 2 \le x \le 4 \\
1 & \text{für } x > 4 \end{cases}
\end{equation*}

2.2 Rechnen mit einer stetigen Verteilungsfunktion

  • \(P(X \le a) = F(a)\)
  • \(P(a < X \le b) = F(b) - F(a)\)
  • \(P(X > a) = 1 - F(a)\)

Für stetige Zufallsvariablen gilt außerdem:

  • \(P(X \le a) = P(X < a)\)
  • \(P(a < X \le b) = P(a < X < b) = P(a \le X < b) = P(a < X \le b)\)
  • \(P(X > a) = P(X \geq a) = 1 - P(X < a) = 1 - P(X \le a)\)

Ob die Intervallgrenzen zum Intervall gehören oder nicht, spielt keine Rolle.

Beispiel (Fortsetzung)

\(\begin{equation*}
F(x) =
\begin{cases}
0 & \text{für } x < 2\\
\frac{1}{2}x - 1 & \text{für } 2 \le x \le 4 \\
1 & \text{für } x > 4 \end{cases}
\end{equation*}\)

a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist \(X\) kleiner als 2,5?

\(\begin{align*}
P(X < 2,5) &= F(2,5)\\
&= \frac{1}{2} \cdot 2,5 - 1\\
&= 0,25 = 25\%
\end{align*}\)

b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist \(X\) zwischen 3,2 und 3,4?

\(\begin{align*}
P(3,2 < X < 3,4) &= F(3,4) - F(3,2)\\
&= \frac{1}{2} \cdot 3,4 - 1 - \left(\frac{1}{2} \cdot 3,2 - 1\right)\\
&= 0,7 - 0,6\\
&= 0,1 = 10\%
\end{align*}\)

c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist \(X\) größer als 3,7?

\(\begin{align*}
P(X > 3,7) &= 1 - P(X \le 3,7)\\
&= 1 - F(3,7)\\
&= 1 - \left(\frac{1}{2} \cdot 3,7 - 1\right)\\
&= 1 - 0,85\\
&= 0,15 = 15\%
\end{align*}\)

2.3 Graph einer stetigen Verteilungsfunktion

2.3.1 Normalverteilung

Dichtefunktion
\[f(x) = \frac{1}{\sigma \cdot \sqrt{2\pi}}\mathrm{e}^{-\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}\] Im Beispiel gilt:
\(\mu = 3\)
\(\sigma = 1\)

Verteilungsfunktion
\[F(x) = \frac{1}{\sigma \cdot \sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{x}\! \mathrm{e}^{-\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{u-\mu}{\sigma}\right)^2} \mathrm{d}u\] Im Beispiel gilt:
\(\mu = 3\)
\(\sigma = 1\)

2.3.2 Stetige Gleichverteilung

Dichtefunktion

\(\begin{equation*} f(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } x < a\\ \frac{1}{b-a} & \text{für } a \le x \le b \\ 0 & \text{für } x > b \end{cases} \end{equation*}\)

Im Beispiel gilt:
\(a = 2\)
\(b = 4\)

Verteilungsfunktion

\(\begin{equation*} F(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } x \le a\\ \frac{x-a}{b-a} & \text{für } a < x < b \\ 1 & \text{für } x \ge b \end{cases} \end{equation*}\)

Im Beispiel gilt:
\(a = 2\)
\(b = 4\)

2.3.3 Exponentialverteilung

Dichtefunktion

\(\begin{equation*} f(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } x < 0\\ \dfrac{1}{\mu}\mathrm{e}^{-\dfrac{x}{\mu}} & \text{für } x \geq 0 \end{cases} \end{equation*}\)

Im Beispiel gilt:
\(\mu = 3\)

Verteilungsfunktion

\(\begin{equation*} F(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } x < 0\\ 1-\mathrm{e}^{-\dfrac{x}{\mu}} & \text{für } x \geq 0 \end{cases} \end{equation*}\)

Im Beispiel gilt:
\(\mu = 3\)

Wir merken uns:

Häufig ist eine vollständige Beschreibung der Verteilung gar nicht notwendig. Um sich einen groben Überblick über eine Verteilung zu verschaffen, betrachtet man einige charakteristische Maßzahlen. Dazu zählen u.a. der Erwartungswert, die Varianz und die Standardabweichung.

Eine Funktion \(F\), die
jedem \(x\) einer Zufallsvariablen \(X\)
genau eine Wahrscheinlichkeit \(P(X \le x)\)
zuordnet, heißt Verteilungsfunktion.

Kurzschreibweise: \(F: x \rightarrow P(X \le x)\)


Die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable X Werte bis zur Stelle x annimmt, ist gleich dem Flächeninhalt bis zur Zahl x, in Zeichen:

P(X ≤ x) = $\int_{-\infty}^{x}$ f(u)du

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Eine Verteilungsfunktion F gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass höchstens ein vorgegebener Wert x angenommen wird:

F(x) = P(X ≤ x).

  • Für diskrete Zufallsvariablen heißt dies konkret, dass man alle Werte der Wahrscheinlichkeitsfunktion bis zum Wert x aufaddiert:

    F(x) = P(X ≤ x) = P(X = 0) + P(X = 1) + … + P(X = x – 1) + P(X = x) = f(0) + f(1) + … + f(x – 1) + f(x) = f(k).

  • Für stetige Zufallsvariablen addiert man streng genommen auch – nur dass dies nun integrieren genannt wird. Man berechnet die Fläche unterhalb der Dichtefunktion bis zum Wert x:

    F(x) = f(u)du.

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ACHTUNG: man bezeichnet mit f sowohl eine Wahrscheinlichkeits- als auch eine Dichtefunktion, obwohl hiermit ganz unterschiedliche Sachverhalte gemeint sind. Eine Wahrscheinlichkeitsfunktion gibt Wahrscheinlichkeiten an, eine Dichtefunktion hingegen nicht. Die Werte der Dichtefunktion selbst sind vollkommen unerheblich, lediglich die Fläche unterhalb der Dichtefunktion interessiert für das Berechnen von Wahrscheinlichkeiten.

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Für das Beispiel des einfachen Würfelwurfs (Beim einfachen Würfelwurf bezeichne X die gewürfelte Augenzahl. Damit gilt, dass die Wahrscheinlichkeit, eine Zahl von 1 bis 6 zu würfeln, jeweils genau gleich 1/6 ist) berechne man die Verteilungsfunktion.

Man kalkuliert die Verteilungsfunktion F für den Fall des einfachen Würfelwurfs folgendermaßen:

F(1) = P(X ≤ 1) = P(X = 1) = f(1) = 1/6,

F(2) = P(X ≤ 2) = P(X = 1) + P(X = 2) = f(1) + f(2)=1/6 + 1/6= 1/3,

F(3) = P(X ≤ 3) = f(1) + f(2) + f(3) = 1/6 + 1/6 + 1/6 = ½ sowie

F(4) = 2/3,

F(5) = 5/6 und

F(6) = 1.

F gibt also jeweils die Wahrscheinlichkeit an, dass höchstens der Wert x angenommen wird. Dieser wiederum berechnet sich dann mit Hilfe der Werte der Wahrscheinlichkeitsfunktion f:

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F(X ≤ x) = $\sum_{k=0}^x $f(k). Verteilungsfunktion, ausgedrückt als Summe von Werten der Wahrscheinlichkeitsfunktion

Dabei ist insbesondere wichtig, dass man auch an „krummen“ Stellen die Verteilungsfunktion berechnen kann. So gilt z.B. bei 2,5:

F(2,5) = P(X = 1) + P(X = 2) = 1/6 + 1/6 = 1/3. An der Stelle 10 hingegen ist der Wert schon bei 1:

F(10) = P(X ≤ 10) = P(X ≤ 6) = f(1) + ... + f(6) = 1/6 + 1/6 + … + 1/6 = 1.

Zwischen 3 und 4 liegt der Wert der Verteilungsfunktion immer bei 0,5, ohne zu wechseln: F(3,2) = F(3,4) = F(3,7) = (X ≤ 3) = 3/6 = ½.

an der Stelle 4 dann bei 4/6:

F(4) = P(X ≤ 4) = 4/6 usw.

F gibt also jeweils die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses an, höchstens eine bestimmte Augenzahl zu würfeln. Dies heißt aber konkret nichts anderes, als dass man eine 1, eine 2, ..., oder die Zahl x würfelt.

Bildlich erhält man:

Abb. 5.5: Verteilungsfunktion beim einfachen Würfelwurf

METHODE:

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Dann einige Fragen und Antworten zu Verteilungsfunktionen (die Antworten beziehen sich beispielhaft auf den einfachen Würfelwurf aus Beispiel 5.2)

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FRAGE 1: 

Wie kommt es dazu, dass wir eine treppenförmige Funktion erhalten?

ANTWORT:

Es ist ganz einfach: interessiert man sich z.B. für F(2,5), also für den Wert der Verteilungsfunktion an der Stelle 2,5, so sucht man die Wahrscheinlichkeit, dass höchstens 2,5 gewürfelt wird. Dies heißt aber nichts anderes als eine 1 oder eine 2 zu würfeln, also

P(X ≤ 2,5) = P(X = 1) + P(X = 2) = 1/6 + 1/6 = 1/3.

Genauso für andere Kommazahlen wie

F(2,9) = F(2)= 2/6 = 1/3,

F(3,7) = F(3) = 3/6 = 1/2 etc.

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FRAGE 2:

Warum landet man rechts von der 6 bei Werten für die Verteilungsfunktion von 1?

ANTWORT:

Es ist z.B. F(10) die Wahrscheinlichkeit, dass höchstens eine „10“ gewürfelt wird. Dies ist aber nichts anderes als die Wahrscheinlichkeit, dass man höchstens eine „6“ würfelt, denn Augenzahlen größer als 6 können nicht auftreten:

F(10) = P(X ≤ 10) = P(X ≤ 6) = 1.

Analog für andere Werte, die größer als 6 sind, z.B.

F(11) = P(X ≤ 11) = P(X ≤ 6) = 1

F(100) = P(X ≤ 100) = P(X ≤ 6) = 1, etc.

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FRAGE 3:

Warum fängt die Verteilungsfunktion bei null an?

ANTWORT:

Bei der Verteilungsfunktion werden Wahrscheinlichkeiten aufaddiert. Links vom „kleinsten“ Ereignis (Ereignisse lassen sich in eine Reihenfolge bringen) ist es aber unmöglich, dass hier Werte auftreten, also gilt links von der 1: P(X

ACHTUNG: Das unmögliche Ereignis hat die Wahrscheinlichkeit null, nicht jedoch umgekehrt. Bei stetigen Zufallsvariablen kann es passieren, dass Ereignisse die Wahrscheinlichkeit null besitzen und aber trotzdem möglich sind!

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FRAGE 4:

Warum steigt die Verteilungsfunktion entweder an oder bleibt auf gleicher Höhe?

ANTWORT:

Es werden bei Verteilungsfunktionen wegen F(x) = P(X ≤ x) - was dann f(0) + f(1) + ... + f(x) bei diskreten Zufallsvariablen entspricht - Wahrscheinlichkeiten, also Zahlen größer oder gleich null, aufaddiert. Deshalb können die Werte für F höchstens größer werden, niemals jedoch kleiner. Auf gleicher Höhe bleibt die Verteilungsfunktion F, wenn zwischendurch kein zusätzliches Ereignis eintritt: so sind die Wahrscheinlichkeiten, dass höchstens eine 3,2 bzw. eine 3,4 bzw. eine 3,7 gewürfelt wird, alle gleich 0,5, nämlich gleich der Wahrscheinlichkeit, höchstens eine 3, d.h. eine 1 oder eine 2 oder eine 3 zu würfeln.

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FRAGE 5:

Warum sind die Punkte bei der Verteilungsfunktion am linken Ende der Stäbe und nicht am rechten?

ANTWORT:

Die Punkte sind dort, wo die Sprünge auftreten.

Bis kurz vor die 4, z.B. für x = 3,8, gilt F(x) = f(1) + f(2) + f(3) = 1/6 + 1/6 + 1/6 = 3/6 = 0,5, an der Stelle 4 hingegen ist F(4) = f(1) + f(2) + f(3) + f(4) = 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 2/3.

Die Augenzahl von 4 ist ein mögliches Ereignis und also sind die Sprünge links.

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FRAGE 6:

Ist die Verteilungsfunktion F überall definiert?

ANTWORT:

Ja, auch für Ereignisse, die gar nicht eintreten können, wo also die zugehörige Wahrscheinlichkeitsfunktion den Wert null hat. Die Verteilungsfunktion gibt eben auch nur an, höchstens einen bestimmten Wert anzunehmen, nicht die Wahrschscheinlichkeiten der Werte selbst. Dies leistet lediglich die Wahrscheinlichkeitsfunktion.

Stetige Verteilungsfunktion

An dieser Stelle folgen zwei Videos zur stetigen Verteilungsfunktion.

Zunächst ein einfacheres Beispiel:

Nun ein schwierigeres Beispiel:

Frage:

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, im oben beschriebenen Experiment höchstens k Erfolge zu erzielen?

Antwort:

Gefragt ist – wie immer bei Verteilungsfunktionen nach - P(X ≤ k). Dies ist gleich F(k), der Wert der Verteilungsfunktion F errechnet sich also (bei diskreten Zufallsvariablen) durch Aufsummieren der Werte der Wahrscheinlichkeitsfunktion f bis an die Stelle k.

Achtung: der erste mögliche Wert ist oftmals null!

Als Bild erhält man

Abb. 6.3: Verteilungsfunktion der B(3,1/2) - Verteilung

Wichtig ist außerdem, dass sich die B(n,p) - Verteilung herleitet aus n unabhängigen B(1,p) - Verteilungen, also aus n unabhängigen Laplace-Verteilungen. Es gilt folgende Reproduktionseigenschaft:

Es seien X1, X2, ..., Xk jeweils B(ni,p)-verteilt und unabhängig voneinander. Dann ist die Summe dieser Zufallsvariablen, also X = X1 + X2 + ... + Xk, damit B(n, p)-verteilt, wobei n = n1 + n2 + ... + nk ist.

Die Fragen, die wir beim Beispiel gestellt haben, lassen sich verallgemeinern zu folgenden fünf Eigenschaften einer Verteilungsfunktion

Eigenschaften einer Verteilungsfunktion F

1. für immer kleinere x strebt die Verteilungsfunktion gegen 0, d.h. F(x) = 0.

2. für immer größere x strebt die Verteilungsfunktion gegen +1, d.h. F(x) = 1.

3. F ist monoton steigend, d.h. es gilt für alle x

4. F ist rechtsseitig stetig, d.h. F(x) = F(x0).

5. F ist für alle reellen Zahlen x definiert.

Aufgabe:

Die folgenden Aussagen sind entweder richtig oder falsch. Entscheide.

a) Bei einer Verteilungsfunktion zu einer diskreten Zufallsvariablen X setzt sich der Wert F(x) zusammen aus der Summe der Werte der Wahrscheinlichkeitsfunktion bis an die Stelle x, d.h. F(x) = f(xi).

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Lösung:

Bei einer Verteilungsfunktion zu einer diskreten Zufallsvariablen X setzt sich der Wert F(x) zusammen aus der Summe der Werte der Wahrscheinlichkeitsfunktion bis an die Stelle x, d.h. F(x) = $\sum_{x_i ≤ x}$f(xi).

Richtig.

b) Der Wert einer Dichtefunktion lässt sich – im Gegensatz zum Wert einer Wahrscheinlichkeitsfunktion – nicht als Wahrscheinlichkeit interpretieren.

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Lösung:

Der Wert einer Dichtefunktion lässt sich – im Gegensatz zum Wert einer Wahrscheinlichkeitsfunktion – nicht als Wahrscheinlichkeit interpretieren.

Richtig.

c) Eine Wahrscheinlichkeit lässt sich im stetigen Fall als Flächeninhalt unterhalb der Verteilungsfunktion verstehen.

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Lösung:

Eine Wahrscheinlichkeit lässt sich im stetigen Fall als Flächeninhalt unterhalb der Verteilungsfunktion verstehen.

Falsch. Als Flächeninhalt unterhalb der Dichtefunktion.

d) Die Verteilungsfunktion einer stetigen Verteilung ist immer stetig, während die Verteilungsfunktion einer diskreten Zufallsvariablen lediglich linksseitig stetig ist.

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Lösung:

Die Verteilungsfunktion einer stetigen Verteilung ist immer stetig, während die Verteilungsfunktion einer diskreten Zufallsvariablen lediglich linksseitig stetig ist.

Falsch. Die Verteilungsfunktion einer diskreten Zufallsvariablen ist lediglich rechtsseitig stetig. Im stetigen Falle ist die Verteilungsfunktion zwar auch rechtsseitig stetig, zusätzlich aber noch linksseitig stetig und damit insgesamt stetig.

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Video: Verteilungsfunktion

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